Une aiguille dans un espace minuscule
Quelle peut être la taille minimale d’un ensemble contenant un segment unité dans chaque direction ?
Le problème de l’aiguille
Un segment n’a pas de flèche : deux directions séparées de 180° sont équivalentes. Un demi-tour couvre donc toutes les directions non orientées. Une rotation autour d’un centre fixe balaie un disque, mais translations et rotations permettent de superposer de nombreuses positions.
Petite aire, construction difficile
Un ensemble de Kakeya contient un segment unité dans chaque direction. De tels ensembles peuvent avoir une aire positive arbitrairement petite, et il existe des constructions mathématiques d’aire nulle. L’app utilise un nombre fini de directions et des grilles de pixels ou voxels : ses mesures sont des approximations, pas des preuves.
Dimensions supérieures
En dimension trois et au-delà, la conjecture moderne étudie la dimension d’un ensemble contenant un segment unité dans chaque direction. Les labos 3D de l’app projettent les directions sur une sphère et estiment le volume avec des voxels.